Un triangle quelconque est équilatéral

 

Soit un triangle quelconque ABC dont nous traçons la bissectrice en A et la médiatrice de [BC] en H.
Comme le triangle est quelconque, la médiatrice et la bissectrice ne sont pas confondues et se coupent en O.
Traçons les perpendiculaires aux cotés [AB] et [AC], passant par O, ce qui nous donne respectivement les points J et K.

Première constatation :

Les deux triangles AOJ et AOK sont égaux, puisqu'ils ont des angles égaux et une hypothénuse commune.

Deuxième constatation :

Les distances OB et OC sont égales puisque le point O est sur le médiatrice.
Notons R = OB = OC

 

En traçant ci-contre les deux triangles égaux AOJ et AOK, et en traçant le même segment de longueur R, on obtient deux figures totalement symétriques.

D'où AB = AC

 

Nous venons de démontrer qu'un triangle quelconque est isocèle.
En reprenant la même démonstration, avec une bissectrice en B, on montrerait de la même manière que BA = BC.

CONCLUSION :

UN TRIANGLE QUELCONQUE EST ÉQUILATÉRAL !
Cette nouvelle propriété simplifie largement la plupart des problèmes de géométrie.

L'auteur décline toute responsabilité concernant l'utilisation qui serait faite de cette conclusion.

 

 

Pour les sceptiques, s'il en reste :

La question qui est souvent posée est :
"oui, mais si la bissectrice et la médatrice se coupent à l'extérieur du triangle ?"

Réponse : ben, pas de problème...
Regardez la figure ci-contre. Le point O est à l'extérieur du triangle ABC.
Les triangles AOJ et AOK sont toujours égaux, les distances OB et OC aussi.
Il faut maintenant tracer les segments de longueur R à l'intérieur des triangles AOJ et AOK, c'est tout...

Et la démonstration reste valable !

 

Indication : cette blague permet tout de même de démontrer un théorême, lequel ?

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